Проводники

Для определенности будем рассматривать только твердые тела. Проводник электричества - это тело, в котором много "свободных" электронов. Электроны могут двигаться в веществе свободно, но не могут покидать поверхности. В условиях электростатики электроны движутся только до тех пор пока за малые доли секунды не расположатся так, что повсюду внутри проводника создастся нулевое электрическое поле. Такое поведение электронов легко понять, если принять во внимание, что пока поле не нулевое, на электроны действует сила, приводящая к их перемещению.

Рассмотрим внутренность проводника. Так как E=0, то (см. 1.18) и gradφ=0, т.е. φ=const. Любой проводник - это эквипотенциальная область, а его поверхность эквипотенциальна. Поскольку E=0 всюду в проводнике, то и divE=0, а так как согласно теореме Гаусса в дифференциальной форме divE=ρ/ε_o, то и ρ=0, т.е. плотность заряда во внутренней части проводника обращается в нуль. Любой заряд, попавший в проводник, собирается на его поверхности, располагаясь так, чтобы выполнялись условия равновесия заряда на проводнике: внутри проводника E=0, а снаружи, вблизи поверхности, E=E_n. Таким образом напряженность E по обе стороны поверхности имеет различные значения, и, стало быть, на самой поверхности остается неопределенной.

Рис. 4.1

Свяжем напряженность поля снаружи у поверхности с локальной поверхностной плотностью заряда σ. Для этого воспользуемся теоремой Гаусса. Найдем поток вектора E через выбранную мысленно поверхность в виде цилиндра, как показано на рис. 4.1. Поток через боковую поверхность цилиндра будет равен нулю из-за того, что E=En, а поток через основание цилиндра внутри проводника равен нулю, так как внутри проводника E=0. Остается только поток через внешнее основание, и он равен E·ΔS, где ΔS - площадь основания цилиндра. Тогда, согласно теореме Гаусса, E·ΔS=σ·ΔS/εo и   (4.1) Таким образом напряженность поля в некоторой точке вблизи поверхности вне проводника выражается через поверхностную плотность заряда s вблизи этой точки.

При этом надо иметь в виду, что s в районе выбранной точки определяется равновесным распределением заряда по всему проводнику, и напряженность поля вблизи данной точки определяется всем зарядом проводника. Это особенно наглядно видно при определении силы, действующей на поверхностные заряды.

В случае одного единственного уединенного проводника все электрические силы сводятся к взаимному отталкиванию зарядов. Так как заряды не могут покинуть проводник, то к его поверхности будут приложены силы, стремящиеся ее растянуть.

Рис. 4.2

Рассмотрим элемент поверхности проводника dS. Поле E' заряда, находящегося на dS, направлено в обе стороны от площадки. Весь остальной заряд на проводнике располагается таким образом, чтобы созданное им вблизи dS поле E'' компенсировало поле E' внутри проводника (см. рис. 4.2). Согласно принципу суперпозиции E=E'+E''. Таким образом внутри проводника E=E'-E''=0, откуда E'=E''. В двух смежных точках с внешней и внутренней стороны dS поле E'' одинаково. Так как с внешней стороны модуль напряженности поля E=E'+E''=σ/εo (см. 4.1), то E'=E''=σ/2εo. Сила, действующая на элемент поверхности dS, равна произведению заряда на этом элементе на напряженность поля, создаваемую всеми зарядами проводника кроме тех, которые находятся на dS, т.е. F=σdSE''. Тогда сила

а на единицу площади поверхности проводника приходится сила

Направление этой силы совпадает с направлением внешней нормали к элементу поверхности проводника.

Уравнение Пуассона

Подставляя (1.18) в (2.17), найдем общее дифференциальное уравнение для потенциала.

Таким образом

,

(4.2а)

что может быть записано, также, как

,

(4.2б)

где D - оператор Лапласа, имеющий в декартовой системе координат следующий вид:

Уравнение (4.2а-б), носящее имя Пуассона, можно рассматривать как дифференциальное выражение, соответствующее интегралу (1.16) с помощью которого потенциал в точке вычисляется как сумма вкладов от всех источников заряда, распределенных в пространстве с плотностью r.

Если между проводниками нет зарядов, то уравнение Пуассона переходит в следующее уравнение, которое носит название уравнения Лапласа:

(4.3)

Основная задача электростатики

Задача заключается в определении функции φ(x,y,z), которая удовлетворяет уравнению (4.3), а также определенным граничным условиям. Граничные условия - это значения φ(x,y,z) во всех точках поверхности, охватывающей область, в которой определена функция φ. При этом на поверхности, удаленной в бесконечность, потенциал φ принимается равным нулю. На проводящих поверхностях могут быть заданы потенциалы каждого проводника или величина полного заряда на каждом проводнике. Объемные заряды предполагаются отсутствующими, ибо заряды проводников сосредоточены на их поверхности.

Основная задача электростатики может быть сформулирована следующим образом.

Дано: расположение и форма всех проводников, а также либо потенциал каждого проводника, либо общий заряд каждого проводника.

Найти: поле этих проводников и распределение зарядов по их поверхности.

В теории доказывается, что существует только одна функция φ(x,y,z), удовлетворяющая уравнению Лапласа и принимающая на границах заданные значения, т.е., что решение задачи единственно.

Однозначность решения позволяет заключить, что как угодно найденная любая функция φ(x,y,z), являющаяся решением уравнения (4.3) и удовлетворяющая граничным условиям есть единственное и потому истинное решение задачи.

Метод изображений

Метод изображений - это способ решения основной задачи электростатики, основанный на подмене исходной конфигурации проводников некоторым другим распределением зарядов, потенциал которого на поверхности проводников и в бесконечности совпадает с граничными условиями исходной задачи. Новая задача, разумеется, должна иметь простое решение. Поскольку решение при данных граничных условиях единственно, то оно является и решением исходной задачи.

Пример: Точечный заряд q находится на расстоянии d от бесконечного проводника, занимающего левое полупространство. Определить поле в правом полупространстве.

Рис. 4.3

Общий заряд точечного проводника задан. Потенциал проводника, уходящего в бесконечность, естественно принять за нуль. Этими условиями решение определяется однозначно. Чтобы найти это решение, предположим, что на продолжении перпендикуляра, опущенного из заряда на поверхность проводника, находится на расстоянии d заряд q' = - q (см. рис. 4.3) и затем мысленно уберем сам проводник . Тогда плоскость, совпадавшая ранее с поверхностью проводника, будет обладать требуемым нулевым потенциалом, ибо все точки этой плоскости будут равно отстоять от равных по величине и противоположных по знаку зарядов.

Стало быть, поле совокупности этих зарядов в правом полупространстве удовлетворяет условиям задачи, из чего на основании того, что решение единственно следует, что поле это в правом полупространстве тождественно искомому полю заряда q и зарядов, индуцированных им на поверхности бесконечного проводника. Таким образом задача сведена к простой задаче двух зарядов. Следует заметить, что внутри проводника E=0, и поле не совпадает с полем заряда и проводника.

Поле в полости

Покажем, что в пустой полости внутри проводника электрическое поле равно нулю. Функция φ(x,y,z) должна удовлетворять уравнению Лапласа всюду внутри полости. Вся граница полости (или замкнутой проводящей оболочки) является эквипотенциальной, т.е. на ней φ = φ_о. Одним из решений уравнения (4.3) является решение φ(x,y,z)=const во всей области определения функции, т.е. во всем объеме полости. Выберем в качестве этой константы φ_о. Тогда полученное решение удовлетворяет граничным условиям, причем это единственное решение. Для напряженности поля получим E= -grad φ_о= 0. Таким образом в электростатике никаким распределением зарядов снаружи замкнутой проводящей оболочки невозможно создать поле внутри нее.

Емкость

Электроемкость или просто емкость - это мера способности проводника накапливать электрический заряд. Потенциал уединенного проводника произвольной формы пропорционален его заряду. Пропорциональность между зарядом, сообщенном проводнику, и его потенциалом возникает из-за принципа суперпозиции. Пусть известно решение уравнения Лапласа во всем пространстве вокруг проводника, при заданном заряде проводника в качестве граничных условий. Если согласно принципу суперпозиции наложить на это решение другое такое же решение для тех же граничных условий, то заряды и поля удвоятся и работа по переносу заряда из бесконечности в данную точку поля тоже удвоится. По этой причине потенциал проводника пропорционален его заряду. Численно емкость равна заряду q, который необходимо сообщить уединенному телу для изменения его потенциалаφ на единицу, и определяется соотношением C=q/φ. За единицу емкости принимают емкость такого проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда в 1 Кл. Эта единица емкости называется Фарадом (Ф).

Вычислим емкость проводящего шара радиуса R в вакууме. Заряд проводника сосредоточен на его поверхности. Поле заряженной сферы легко находится с помощью теоремы Гаусса:

Потенциал сферы равен

Тогда емкость равна C=q/φ = 4π ε_oR.