Поток вектора

В поле произвольного вектора a выделим мысленно бесконечно малую плоскую площадку dS, в пределах которой вектор a может считаться постоянным. Проведем нормаль к этой площадке и условимся одно из направлений нормали считать положительным, а другое - отрицательным. Направление нормали будем характеризовать единичным вектором n.

Рис. 2.1

Потоком dФ вектора a через бесконечно малую площадку dS называется величина

(2.1)

Чтобы определить поток вектора через поверхность конечных размеров S, нужно разбить ее на площадки dS так, чтобы не только вектор a был постоянен в пределах площадки, но и площадка dS была плоской.

Рис. 2.2	Поток Ф вектора a через поверхность S определяется как алгебраическая сумма потоков dФ, выражаемая следующим интегралом:
		(2.2)

Теорема Гаусса

Пусть поле E возбуждается точечным зарядом q, находящимся в начале координат. Вычислим поток вектора E через элемент dS произвольной поверхности: (2.3)
	Рис. 2.3

Произведение численно равно проекции dS на поверхность, перпендикулярную к радиус-вектору, причем оно положительное, если угол между радиус-вектором и нормалью острый, и отрицательное, если - тупой.

Площадка dS' совпадает с элементом шаровой поверхности. Тогда, по определению, телесный угол

	(2.4)
откуда	(2.5)

Если считать телесный угол dΩ положительным, когда из точки О видна внутренняя сторона dS, и отрицательным, когда - внешняя, то знак ± в выражении (2.5) исчезает:

(2.6)

Итак, в поле точечного заряда q поток вектора E через произвольно ориентированную площадку dS зависит, помимо величины этого заряда, только от телесного угла, положительного или отрицательного, под которым эта площадка видна из занимаемой зарядом точки О. Полученный результат является следствием того, что напряженность поля E направлена радиально и при удалении от заряда убывает по тому же закону (обратно пропорционально квадрату радиуса), по которому изменяется телесный угол.

Для конечной поверхности поток получается интегрированием выражения (2.6) по всей поверхности: (2.7) где Ω - положительный или отрицательный телесный угол, под которым видна из точки расположения заряда вся поверхность S, т.е. телесный угол, образованный радиус-векторами, проведенными из точки расположения заряда к краевой линии этой поверхности.
	Рис. 2.4

Если заряд расположен внутри замкнутой поверхности S, то эта поверхность окружает его со всех сторон и, стало быть, телесный угол Ω = 4π.

Если же заряд расположен в точке О, лежащей вне замкнутой поверхности, то совокупность касательных к этой поверхности, проведенных из точки О образует конус, соприкасающийся с поверхностью вдоль некоторой линии, которая разделит поверхность S на две части: S1 и S2. Обе части будут видны из точки О под одним и тем же телесным углом, соответствующем раствору конуса, причем одна из этих частей будет видна с ее внутренней стороны, а другая - с внешней. Таким образом, этим частям будут соответствовать равные по величине и противоположные по знаку телесные углы. Поэтому и потоки через S1 и S2 будут равны по величине и противоположны по знаку и в сумме дадут нуль.

Рис. 2.5

Оба рассмотренных случая могут быть выражены одной формулой

(2.8)

где q - заряд, находящийся внутри замкнутой поверхности, а вектор элемента площади определен как

(2.9)

Если поле создано системой зарядов, то согласно принципу суперпозиции (см. 1.5) поток, создаваемый всеми зарядами, может быть записан как

(2.10)

Но, согласно (2.8)

(2.11)

Тогда полный поток равен

(2.12)

Теорема Гаусса: в произвольном электростатическом поле в вакууме поток вектора E через произвольную замкнутую поверхность равен , где q - суммарная величина заряда внутри этой поверхности.

На первый взгляд не очевидно, каким образом теорема Гаусса может помочь в определении напряженности поля E заданной системы зарядов. Действительно, неизвестная величина E стоит в (2.12) под знаком интеграла, т.е. в общем случае для ее нахождения нужно решать интегральное уравнение. Существуют, однако, некоторые специальные случаи, когда в силу соображений симметрии можно заранее указать направление вектора E в каждой точке пространства. Тогда для определения напряженности поля в некоторой точке P поступают следующим образом. Выбирают некоторую мысленную поверхность S, на которой лежит точка P, так, чтобы:

• угол между нормалью к этой поверхности и вектором E был известным;
• модуль вектора E в тех точках поверхности, в которых угол между нормалью к поверхности и вектором E не равен π/2 был постоянным.

Тогда интеграл по тем частям поверхности, на которых E перпендикулярно к элементу поверхности, будет равен нулю из-за равенства нулю косинуса в скалярном произведении EdS, а при интегрировании по остальной части поверхности модуль Е можно вынести из-под знака интеграла. В результате остается просто вычислить площадь этой части поверхности и получится алгебраическое уравнение, из которого и найдется значение модуля напряженности поля в заданной точке пространства. Все вышесказанное иллюстрируется следующим примером.

Рис. 2.6

Пусть имеется бесконечная плоскость, равномерно заряженная с поверхностной плотностью заряда s. Требуется найти напряженность поля в точке P на расстоянии l от плоскости. Прежде всего заметим, что для бесконечной плоскости вектор должен E быть направлен по нормали к поверхности в любой точке.Действительно, все направления вдоль плоскости совершенно равноправны и потому, если бы у вектора E была составляющая вдоль плоскости, то нельзя было бы указать, куда она направлена. С другой стороны, при наличии такой составляющей на заряды действовала бы сила, и вдоль плоскости возник бы электрический ток, чего в отсутствие внешнего воздействия быть не может.

В качестве мысленной замкнутой поверхности, по которой будет проводиться интегрирование, выбирается цилиндр (или параллелепипед) таким образом, чтобы образующая была нормальна к плоскости, а основания параллельны ей и расположены на равных расстояниях l от плоскости (рис.2.6). Высота цилиндра 2l должна быть такой , чтобы точка P лежала на его основании.

Поток вектора E через выбранную поверхность можно представить как сумму потоков через боковую поверхность и основания цилиндра:

,

где учтено, что в силу симметрии модули векторов E' и E'' равны (E'=E"=E), и оба вектора коллинеарны нормалям к соответствующим основаниям. Поскольку вектор E перпендикулярен к нормали, проведенной к любому элементу dS на боковой поверхности цилиндра, то Ф_бок = 0, так как во всех точках боковой поверхности скалярное произведение EdS равно нулю . На основаниях цилиндра имеем

EdS= E dS cos(0) = EdS ,

причем модуль Е одинаков в любой точке основания. Тогда поток через каждое из оснований равен

,

а полный поток через всю поверхность цилиндра будет в два раза больше.

Заряд, находящийся внутри цилиндра равен, очевидно, q =σ ΔS . Тогда, согласно теореме Гаусса,

2EΔS= σ ΔS /ε_o ,

откуда E =σ / 2ε_o . Заметим, что результат оказался не зависящим от расстояния l, т.е. электрическое поле бесконечной равномерно заряженной плоскости оказывается однородным.

Подобным образом находится напряженность поля и в случае бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра, для которого поле обладает осевой симметрией, и в случае равномерно заряженного шара, т.е. в случае центральной симметрии.

Дивергенция

Электрическое поле имеет определенную величину и направление в каждой точке, т.е. E=E(x,y,z). В математике для характеристики локальных свойств векторных полей, т.е. их свойств в окрестности некоторой точки, вводятся соответствующие дифференциальные величины. Одной из них является дивергенция. По определению дивергенция векторной функции a (обозначается div a) есть следующая скалярная функция координат

(2.13)

где V - объем, в котором находится некоторая точка, а S - окружающая этот объем поверхность произвольной формы. Таким образом div a является потоком этого вектора наружу из объема V, приходящимся на единицу объема в пределе, когда V стягивается к этой точке.

Рис. 2.7

Предположим, что векторная функция a задана в декартовой системе координат. Это означает, что известны три скалярные функции ax(x,y,z), ay(x,y,z), az(x,y,z). Найдем выражение для дивергенции в точке P(x,y,z) в декартовой системе координат. Выберем область, оружающую точку P в виде ящика со сторонами Δx, Δy, Δz. Найдем суммарный поток Ф(x) вектора a через две противоположные грани, перпендикулярные оси x:

где a_x1и a_x2 средние значения проекций a_x на гранях, к которым на рис. 2.7 проведены соответствующие нормали.

Приближенно можно записать, что

Тогда

где ΔV - объем ящика.

По аналогии можно записать и компоненты потока через пары противоположных граней, перпендикулярных осям y и z. Тогда полный поток вектора a через всю поверхность ящика будет

Устремляя объем ящика к нулю, путем стягивания его к точке P перейдем от приближенного равенства к точному и получим, согласно определению дивергенции (2.13), что в декартовых координатах

(2.14)

Учитывая, что векторный оператор набла определен в декартовых координатах как

можно представить дивергенцию в виде скалярного произведения оператора набла на вектор a:

,

причем представление дивергенции в виде скалярного произведения оператора набла на вектор сохраняет силу и для других систем координат (цилиндрической, сферической и т.д.). И вектор и оператор набла должны быть, естественно, записаны в одной и той же системе (см. Лекцию 3, где оператор набла представлен в полярной системе координат).

Для выяснения физического смысла понятия дивергенции в случае электрического поля обратимся к представлению поля E силовыми линиями. Если в окрестности точки P зарядов нет, то количество линий входящих в ящик будет равно числу линий выходящих из ящика. Таким образом поток через всю поверхность, окружающую точку P, будет равен нулю, а с ним будет равна нулю и дивергенция (см. 2.13). Если вблизи точки P есть положительный заряд, то выходящие из него линии создадут дополнительный поток из ящика и, поскольку выходящие линии ориентированы в сторону внешней нормали к стенкам ящика, знак этого дополнительного потока будет положительным (а в случае отрицательного заряда в точке P - отрицательным). Тогда дивергенция будет мерой этого дополнительного потока на единицу объема, возникающего или исчезающего в точке P.

Теорема Остроградского-Гаусса

Поток вектора a через произвольную замкнутую поверхность S равен интегралу дивергенции этого вектора по объему V, ограниченному этой поверхностью:

(2.15)

Разобъем весь объем, заключенный внутри поверхности S на элементарные кубики типа изображенных на рис. 2.7. Грани всех кубиков можно разделить на внешние, совпадающие с поверхностью S и внутренние, граничащие только со смежными кубиками. Сделаем кубики настолько маленькими, чтобы внешние грани точно воспроизводили форму поверхности. Поток вектора a через поверхность каждого элементарного кубика равен

,

а суммарный поток через все кубики, заполняющие объем V, есть

(2.16)

Рассмотрим входящую в последнее выражение сумму потоков dФ через каждый из элементарных кубиков. Очевидно, что в эту сумму поток вектора a через каждую из внутренних граней войдет дважды.

Рис. 2.8

Рассмотрим два смежных кубика , поверхности которых обозначены как S1 и S2 (рис. 2.8), причем смежная грань входит как в S1 так и в S2. Очевидно, что при подсчете потока через S1 угол между внешней нормалью к этой грани и вектором а острый и вклад от этой грани в поток будет положительным. А при подсчете потока через S2 вклад от этой грани будет, очевидно, отрицательным.

Тогда полный поток через поверхность S=S₁+S₂ будет равен сумме потоков через только внешние грани, поскольку сумма потоков через внутреннюю грань даст ноль. По аналогии можно заключить, что все относящиеся к внутренним граням члены суммы в левой части выражения (2.16), сократятся. Тогда, переходя в силу элементарности размеров кубиков от суммирования к интегрированию, получим выражение (2.15), где интегрирование производится по поверхности, ограничивающей объем.

Заменим в соответствии с теоремой Остроградского-Гаусса поверхностный интеграл в (2.12) объемным

и представим суммарный заряд как интеграл от объемной плотности по объему

Тогда получим следующее выражение

Полученное соотношение должно выполняться для любого произвольно выбранного объема V. Это возможно только в том случае, если значения подинтегральных функций в каждой точке объема одинаковы. Тогда можно записать

(2.17)

Последнее выражение представляет собой теорему Гаусса в дифференциальной форме.

Теорема о циркуляции

Поскольку электростатическое поле является центральным, то силы, действующие на заряд в таком поле, являются консервативными (см. любой учебник по механике). Так как Edl представляет собой элементарную работу, которые силы поля производят над единичным зарядом, а работа консервативных сил на замкнутом пути равна нулю, то

(2.18)

Это утверждение называется теоремой о циркуляции вектора E.